Question

函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)M＞0，使得|f（x）|≥M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱f（x）為“圓錐托底型”函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）=2x，g（x）=x³是否為“圓錐托底型”函數(shù)？并說明理由．
（2）若f（x）=x²+1是“圓錐托底型”函數(shù)，求出M的最大值．
（3）問實(shí)數(shù)k、b滿足什么條件，f（x）=kx+b是“圓錐托底型”函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件|f（x）|≥M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立進(jìn)行判斷，即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)|f（x）|≥M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，建立條件關(guān)系，即可求出結(jié)論，
（3）利用函數(shù)是“圓錐托底型”函數(shù)．則滿足條件|f（x）|≥M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵|2x|=2|x|≥2|x|，即對(duì)于一切實(shí)數(shù)x使得|f（x）|≥2|x|成立，
∴f（x）=2x是“圓錐托底型”函數(shù)．…（2分）
對(duì)于g（x）=x³，如果存在M＞0滿足|x³|≥M|x|，而當(dāng)x=

M 2

時(shí)，由|

M 2

|3≥M|

M 2

|，
∴

M

2

≥M，得M≤0，矛盾，
∴g（x）=x³不是“圓錐托底型”函數(shù)．…（5分）
（2）∵f（x）=x²+1是“圓錐托底型”函數(shù)，故存在M＞0，使得|f（x）|=|x²+1|≥M|x|對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立．
∴當(dāng)x≠0時(shí)，M≤|x+

1

x

|=|x|+

1

|x|

，此時(shí)當(dāng)x=±1時(shí)，|x|+

1

|x|

取得最小值2，∴M≤2．…（9分）
而當(dāng)x=0時(shí)，|f（0）|=1≥M|0|=0也成立．
∴M的最大值等于2．…（10分）
（3）①當(dāng)b=0，k=0時(shí)，f（x）=0，無論M取何正數(shù)，取x₀≠0，則有|f（x₀）=0＜M|x₀|，
f（x）=0不是“圓錐托底型”函數(shù)．…（12分）
②當(dāng)b=0，k≠0時(shí)，f（x）=kx，對(duì)于任意x有|f（x）|=|kx|≥|k||x|，此時(shí)可取0＜M＜k|，
∴f（x）=kx是“圓錐托底型”函數(shù)．…（14分）
③當(dāng)b≠0，k=0時(shí)，f（x）=b，無論M取何正數(shù)，取|x₀|＞

|b|

M

．有|b|＜M|x₀|，
∴f（x）=b不是“圓錐托底型”函數(shù)．…（16分）
④當(dāng)b≠0，k≠0時(shí)，f（x）=kx+b，無論M取何正數(shù)，取x₀=-

b

k

≠0，有|f（x₀）|=0≤M|x₀|，
∴f（x）=kx+b不是“圓錐托底型”函數(shù)．
由上可得，僅當(dāng)b=0，k≠0時(shí)，f（x）=kx+b是“圓錐托底型”函數(shù)．…（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的新定義，考查學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．