Question

4．已知$|\begin{array}{l}{a}&\\{c}&pe6djmc\end{array}|$=ad-bc，設(shè)f（x）=$|\begin{array}{l}{mx}&{m}\\{2x}&{x+1}\end{array}|$
（1）若不等式f（x）＜1的解集為R，求m的取值范圍．
（2）若任意的x∈[1，3]，不等式f（x）＜6-m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由新定義可得f（x），由題意可得mx²-mx-1＜0恒成立，對(duì)m討論，分m=0，m＜0，判別式小于0，解不等式即可得到所求m的范圍；
（2）由題意可得mx²-mx＜6-m在[1，3]恒成立，即為m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值．由g（x）=x²-x+1在[1，3]的單調(diào)性可得最大值，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）f（x）=$|\begin{array}{l}{mx}&{m}\\{2x}&{x+1}\end{array}|$=mx（x+1）-2mx=mx²-mx，
由題意可得mx²-mx-1＜0恒成立．
當(dāng)m=0時(shí)，-1＜0，恒成立；
當(dāng)m＜0時(shí)，△＜0即m²+4m＜0，即為-4＜m＜0；
當(dāng)m＞0時(shí)，不等式不恒成立．
綜上可得，m的范圍是（-4，0]；
（2）任意的x∈[1，3]，不等式f（x）＜6-m恒成立．
即有mx²-mx＜6-m在[1，3]恒成立，
即為m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值．
由g（x）=x²-x+1在[1，3]遞增，即有g(shù)（x）的值域?yàn)閇1，7]．
則$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值為$\frac{6}{7}$．
即有m的取值范圍為（-∞，$\frac{6}{7}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法和參數(shù)分離方法，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．