Question

15．如圖，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2AF=2AD，∠BAF=60°．
（1）求證：平面ADF⊥平面ABEF．
（2）求直線CF與平面ADF所成角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理證明AD⊥平面ABEF即可．
（2）建立空間坐標系，求出平面ADF的法向量，利用向量法結合線面角的關系進行求解即可．

解答 證明：（1）∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABEF．
∵AD?平面ADF，
∴平面ADF⊥平面ABEF．
（2）過B作AB的垂線By，
∵BC⊥平面ABEF．
∴建立以B為坐標原點，BA，By，BC分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2AF=2AD，∠BAF=60°，
則設AD=2，則AF=2，AB=4，
則AF'=BE'=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}×2$=1，EE'=FF'=$\sqrt{3}$，EF=E'F'=4-1-1=2，
則A（4，0，0），D（4，0，2），F(xiàn)（3，$\sqrt{3}$，0），C（0，0，2），
則$\overrightarrow{AD}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AF}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
設平面ADF的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AD}$=2z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AF}$=-x+$\sqrt{3}$y=0，
令y=1，則x=$\sqrt{3}$，z=0，
即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{CF}$=（3，$\sqrt{3}$，-2），
設直線CF與平面ADF所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{CF}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{CF}|}$|=$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}•\sqrt{9+3+4}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2×4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則θ=$\frac{π}{3}$，
即直線CF與平面ADF所成角為$\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查面面垂直的判定以及線面角的求解，根據(jù)相應的判定定理以及建立空間坐標系，求出平面的法向量，轉(zhuǎn)化為利用向量進行求解是解決本題的關鍵．考查學生的轉(zhuǎn)化和運算能力．