Question

16．已知圓E：x²+y²=1，點C（-1，0），D（0，-1），P（2，0），過P作直線l與圓E相交于A，B兩點．
（1）若＜$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OP}$＞=2＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OP}$＞，求直線l的斜率；
（2）記線段AB的中點為M，求|$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{MD}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OP}$＞=α，則＜$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OP}$＞=2＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OP}$＞=2α，（α∈$（0，\frac{π}{2}）$）．可得A（cosα，sinα），B（cos2α，sin2α）．利用P，A，B三點共線，利用斜率計算公式、三角函數(shù)化簡求值即可得出．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），直線l的斜率k存在．可設(shè)直線l的方程為：y=k（x-2）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+k²）x²-4k²x+4k²-1=0，（x₁＞x₂）．△＞0，解得k²$＜\frac{1}{3}$．利用根與系數(shù)的關(guān)系及其中點坐標公式可得M$（\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}，\frac{-2k}{1+{k}^{2}}）$．可得$\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$=$（\frac{-1-5{k}^{2}}{1+{k}^{2}}，\frac{-1+4k-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}）$，再利用向量模的計算公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OP}$＞=α，則＜$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OP}$＞=2＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OP}$＞=2α，（α∈$（0，\frac{π}{2}）$）．
可得A（cosα，sinα），B（cos2α，sin2α）．
∵P，A，B三點共線，
∴$\frac{sinα}{cosα-2}$=$\frac{sin2α}{cos2α-2}$，
化為：cosα=$\frac{3}{4}$，則sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
∴直線l的斜率k=$\frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}-2}$=-$\frac{\sqrt{7}}{5}$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），直線l的斜率k存在．
可設(shè)直線l的方程為：y=k（x-2）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（1+k²）x²-4k²x+4k²-1=0，（x₁＞x₂）．
△=16k⁴-4（1+k²）（4k²-1）=4（1-3k²）＞0，解得k²$＜\frac{1}{3}$．
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$．
x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}-4）}{2}$=$\frac{-2k}{1+{k}^{2}}$．
∴M$（\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}，\frac{-2k}{1+{k}^{2}}）$．
∴$\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$=$（\frac{-1-5{k}^{2}}{1+{k}^{2}}，\frac{-1+4k-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}）$，
∴$|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}{|}^{2}$=$（\frac{1+5{k}^{2}}{1+{k}^{2}}）^{2}$+$（\frac{{k}^{2}-4k+1}{1+{k}^{2}}）^{2}$=$\frac{26{k}^{4}-8{k}^{3}+28{k}^{2}-8k+2}{{k}^{4}+2{k}^{2}+1}$=26-$\frac{8（k+3）}{{k}^{2}+1}$，
令f（k）=$\frac{k+3}{{k}^{2}+1}$，則f′（k）=$\frac{{k}^{2}+1-2k（k+3）}{（{k}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{-{k}^{2}-6k+1}{（{k}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{-[k-（-3+\sqrt{10}）][k-（-3-\sqrt{10}）]}{（{k}^{2}+1）^{2}}$，$（-\frac{\sqrt{3}}{3}＜k＜\frac{\sqrt{3}}{3}）$．
可知k=$\sqrt{10}-3$時，f（k）取得最大值，$f（\sqrt{10}-3）$=$\frac{\sqrt{10}-3+3}{（\sqrt{10}-3）^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{10}}{20-6\sqrt{10}}$．
∴$|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}{|}^{2}$的最小值=26-8×$\frac{\sqrt{10}}{20-6\sqrt{10}}$=14-4$\sqrt{10}$．
∴|$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{MD}$|的最小值為$\sqrt{10}$-2．

點評 本題考查了直線與圓相交問題、中點坐標公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量模的計算公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、斜率計算公式、三角函數(shù)化簡求值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．