Question

7．已知|$\overrightarrow{AB}$|=8，|$\overrightarrow{AC}$|=6，∠BAC=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{EC}$，線段BE與線段CD交于點G，則|$\overrightarrow{AG}$|的值為（　�。�

• A． 4
• B． $\sqrt{19}$
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 5

Answer 1

分析 利用向量模的關(guān)系，建立坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，分別求出直線CE，DB的方程，求出交點即G點的坐標(biāo)，然后求解向量的模即可．

解答 解：以A點為原點，以$\overrightarrow{AB}$為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
∵|$\overrightarrow{AB}$|=8，|$\overrightarrow{AC}$|=6，∠BAC=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{EC}$，
∴A（0，0），B（8，0），E（4，0），D（2，2$\sqrt{3}$），C（3，3$\sqrt{3}$），
∴直線CE的方程為$\frac{y-0}{3\sqrt{3}-0}$=$\frac{x-4}{3-4}$，即3$\sqrt{3}$x+y-12$\sqrt{3}$=0，①
直線DB的方程為$\frac{y-0}{2\sqrt{3}-0}$=$\frac{x-8}{2-8}$，即x+$\sqrt{3}$y-8=0，②
由①②構(gòu)成方程組，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{2}}\\{y=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∴點G（$\frac{7}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AG}$=（$\frac{7}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴|$\overrightarrow{AG}$|=$\sqrt{（\frac{7}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{19}$，
故選：B

點評 本題考查向量的幾何中的應(yīng)用，向量的坐標(biāo)運算，直線方程，直線的交點，向量的模，考查計算能力，屬于中檔題．