Question

15．設(shè)集合P={1，2，3，4，5}，對(duì)任意k∈P和正整數(shù)m，記f（m，k）=$\sum_{i=1}^5{[m\sqrt{\frac{k+1}{i+1}}]}$，其中，[a]表示不大于a的最大整數(shù)，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，存在k∈P和正整數(shù)m，使得f（m，k）=n．

Answer 1

分析 根據(jù)新定義，進(jìn)行推理和證明即可．

解答 證明：定義集合A={m$\sqrt{k+1}$|m∈N*，k∈P}，其中N*為正整數(shù)集．由于對(duì)任意k、i∈P且k≠i，$\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{i+1}}$是無理數(shù)，
則對(duì)任意的k₁、k₂∈P和正整數(shù)m₁、m₂，${m}_{1}\sqrt{{k}_{1}+1}$=${m}_{2}\sqrt{{k}_{2}+1}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m₁=m₂，k₁=k₂．由于A是一個(gè)無窮集，
現(xiàn)將A中的元素按從小到大的順序排成一個(gè)無窮數(shù)列．對(duì)于任意的正整數(shù)n，設(shè)此數(shù)列中第n項(xiàng)為m$\sqrt{k+1}$．下面確定n與m、k的關(guān)系．若${m}_{1}\sqrt{i+1}$$≤m\sqrt{k+1}$，
則${m}_{1}≤m•\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{i+1}}$．由m₁是正整數(shù)可知，對(duì)i=1，2，3，4，5，滿足這個(gè)條件的m₁的個(gè)數(shù)為[$m\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{i+1}}$]．
從而n=$\sum_{i=1}^{5}$[$m\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{i+1}}$]=f（m，k）．
因此對(duì)任意n∈N*，存在m∈N*，k∈P，使得f（m，k）=n．

點(diǎn)評(píng) 本題為創(chuàng)新概念題，做題時(shí)，需緊扣新概念，難度較大．