Question

16．在直角坐標系xOy中，已知點O、A、B、C分別表示復(fù)數(shù)0，1+i，2+3i，3+2i，點P（x，y）在三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，求|$\overrightarrow{OP}$|；
（Ⅱ）設(shè)$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R），用x，y表示m-n，并求m-n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用坐標表示出$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，可得$\overrightarrow{OP}$=（2，2），即可求|$\overrightarrow{OP}$|；
（Ⅱ）利用$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R），即可x，y表示m-n，利用線性規(guī)劃知識求出m-n的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴（1-x，1-y）+（2-x，3-y）+（3-x，2-y）=（0，0），
∴3x-6=0，3y-6=0，∴x=2，y=2，
∴$\overrightarrow{OP}$=（2，2），
∴|$\overrightarrow{OP}$|=2$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{AC}$=（2，1），
∵$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R），
∴（x，y）=（m+2n，2m+n），
∴x=m+2n，y=2m+n，
∴m+n=y-x，
令y-x=t，由圖可知，直線y=x+t過點B（2，3）時，t取得最大值1，
∴m-n的最大值為1．

點評 本題考查平面向量知識的運用，考查線性規(guī)劃知識，考查 學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．