Question

11．如圖，在直角坐標系xOy中，設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點分別為F₁和F₂．過右焦點為F₂且與x軸垂直的直線l與橢圓C相交，其中一個交點為M（1，$\frac{3}{2}$）．（1）求橢圓C的方程：
（2）設(shè)點P在橢圓上，且|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=m（m≥1），求$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知易得c值與線段MF₂的長度，在直角三角形MF₁F₂中勾股定理求出a即可寫出橢圓C的標準方程．
（2）設(shè)P點坐標為：（x₁，y₁），由|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=m（m≥1），可得：x∈[1，2]，根據(jù)向量數(shù)量積公式，表示出$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，進而根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到其最大值和最小值．

解答 解：（1）由橢圓定義可知|MF₁|+|MF₂|=2a．由題意|MF₂|=$\frac{3}{2}$，
∴|MF₁|=2a-$\frac{3}{2}$．又由Rt△MF₁F₂可知（2a-$\frac{3}{2}$）²=2²+（$\frac{3}{2}$）²，a＞0，
∴a=2，又a²-b²=1，
得b²=3．
∴橢圓C的方程為 $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）設(shè)P點坐標為：（x₁，y₁），由|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=m（m≥1），
可得：x∈[1，2]，
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-1-x₁，-y₁），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（1-x₁，-y₁），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-1+x₁²+y₁²=$\frac{1}{4}$x₁²+2，x₁∈[1，2]，
則當x=1時，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值為$\frac{9}{4}$，
當x=2時，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值為3．

點評 本題考查的知識點是橢圓的方程，橢圓的性質(zhì)，平面向量的數(shù)量積，難度中檔．