Question

6．拋物線C：y²=2px（p＞0）上的點$M（\frac{p}{2}，p）$到其焦點F的距離是2．
（Ⅰ）求C的方程．
（Ⅱ）過點M作圓D：（x-a）²+y²=1的兩條切線，分別交C于A，B兩點，若直線AB的斜率是-1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）C的準線是$x=-\frac{p}{2}$，根據(jù)拋物線定義有$\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=2$，p=2，即可得C的方程；
（Ⅱ）設(shè)$A（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}）$，$B（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$，則$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{\frac{{{y_2}^2}}{4}-\frac{{{y_1}^2}}{4}}}=-1$，所以y₁+y₂=-4．求出MA斜率${k_1}=\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{{{y_1}^2}}{4}-1}}=\frac{4}{{{y_1}+2}}$，MB斜率${k}_{2}=\frac{4}{{y}_{2}+2}$，所以${k_1}+{k_2}=\frac{{4（{y_1}+{y_2}+4）}}{{（{y_1}+2）（{y_2}+2）}}=0$．
可設(shè)經(jīng)過點M的圓D切線方程是y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，則$\frac{|ka+2-k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，得（a²-2a）k²+4（a-1）k+3=0，故${k_1}+{k_2}=-\frac{4（a-1）}{{{a^2}-2a}}$=0，可得實數(shù)a的值．

解答 解：（Ⅰ）C的準線是$x=-\frac{p}{2}$，根據(jù)拋物線定義有$\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=2$，p=2，
故C的方程是y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)$A（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}）$，$B（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$，則$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{\frac{{{y_2}^2}}{4}-\frac{{{y_1}^2}}{4}}}=-1$，所以y₁+y₂=-4．…（6分）
因為M（1，2），所以MA斜率${k_1}=\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{{{y_1}^2}}{4}-1}}=\frac{4}{{{y_1}+2}}$，
同理MB斜率${k}_{2}=\frac{4}{{y}_{2}+2}$，所以${k_1}+{k_2}=\frac{{4（{y_1}+{y_2}+4）}}{{（{y_1}+2）（{y_2}+2）}}=0$．…（8分）
可設(shè)經(jīng)過點M的圓D切線方程是y-2=k（x-1），
即kx-y+2-k=0，則$\frac{|ka+2-k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，得（a²-2a）k²+4（a-1）k+3=0，故${k_1}+{k_2}=-\frac{4（a-1）}{{{a^2}-2a}}$．
因此$\frac{4（a-1）}{{{a^2}-2a}}=0$，a=1．…（12分）

點評 本題考查了拋物線的定義、方程，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．