Question

19．已知函數(shù)f（x）=|kx-1|+|kx-2k|，g（x）=x+1．
（1）當(dāng)k=1時(shí)，求不等式f（x）＞g（x）的解集；
（2）若存在x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤2成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=|x-1|+|x-2|，分類討論，即可求不等式f（x）＞g（x）的解集；
（2）分類討論，結(jié)合存在x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤2成立，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=|x-1|+|x-2|，
x＜1時(shí)，f（x）＞g（x），可化為-x+1-x+2＞x+1，即3x＜2，∴x＜$\frac{2}{3}$；
1≤x≤2時(shí)，f（x）＞g（x），可化為x-1-x+2＞x+1，即x＜0，舍去；
x＞2時(shí)，f（x）＞g（x），可化為x-1+x-2＞x+1，即x＞4，∴x＞4；
綜上所述，x＜$\frac{2}{3}$或x＞4；
（2）①k=0時(shí)，f（x）=1≤2成立，
②0＜k≤$\frac{1}{2}$時(shí)，x＜2，f（x）=1-kx-kx+2k=-2kx+2k+1＞-2k+1，滿足存在x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤2成立，
2≤x≤$\frac{1}{k}$，f（x）=1-kx+kx-2k=-2k+1≥0，滿足存在x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤2成立，
x＞$\frac{1}{k}$，f（x）=kx-1+kx-2k=2kx-2k-1＞-2k+1，滿足存在x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤2成立，
③k＞$\frac{1}{2}$，x＜$\frac{1}{k}$，f（x）=1-kx-kx+2k=-2kx+2k+1＞2k-1＞0，滿足存在x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤2成立
$\frac{1}{k}$≤x≤2，f（x）=kx-1-kx+2k=2k-1＞0，滿足存在x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤2成立
x＞2，f（x）=1-kx-kx+2k=-2kx+2k+1＜-2k+1，不滿足存在x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤2成立，
④k＜0，x＜$\frac{1}{k}$，f（x）=kx-1+kx-2k=2kx-2k-1＜-2k+1＜1，滿足存在x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤2成立
$\frac{1}{k}$≤x≤2，f（x）=1-kx+kx-2k=-2k+1＞1，滿足存在x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤2成立
x＞2，f（x）=1-kx-kx+2k=-2kx+2k+1＜-2k+1，滿足存在x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤2成立，
綜上所述，k∈R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．