Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n+2．
（I）求證：{a_n+2}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）設(shè)b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+2}$，求S_n=b₁+b₂+…+b_n，并證明：?n∈N^*，$\frac{1}{5}$≤S_n＜$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把原數(shù)列遞推式變形，可得{a_n+2}是等比數(shù)列，求出其通項公式后可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入${b_n}=\frac{n}{{{a_n}+2}}$，整理后利用錯位相減法求S_n=b₁+b₂+…+b_n，然后放縮得答案．

解答 （Ⅰ）證明：由a_n+1=2a_n+2，得a_n+1+2=2（a_n+2），
∵a₁+2=5≠0，∴$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}=2$，
∴{a_n+2}是首項為5，公比為2的等比數(shù)列，
則${a}_{n}+2=5•{2}^{n-1}$，
∴${a}_{n}=5•{2}^{n-1}-2$；
（Ⅱ）解：${b_n}=\frac{n}{{5×{2^{n-1}}}}$，
∴${S_n}=\frac{1}{5}（{\frac{1}{2^0}+\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}}）$------①
$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{5}（{\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}}）$------②
①-②得：${S_n}=\frac{2}{5}（{\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{{{2^{n-1}}}}}）=\frac{2}{5}（{\frac{{1-\frac{1}{2^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{2^n}}）=\frac{2}{5}（{2-\frac{n+2}{2^n}}）$．
∴${S_n}=\frac{4}{5}-\frac{1}{5}×\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}＜\frac{4}{5}$；
∵${S_{n+1}}-{S_n}=\frac{2}{5}（{\frac{n+2}{2^n}-\frac{n+3}{{{2^{n+1}}}}}）=\frac{2}{5}×\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}＞0$，
∴{S_n}單調(diào)遞增，則${S_n}≥{S_1}=\frac{1}{5}$，
∴$?n∈{N^*}，\frac{1}{5}≤{S_n}＜\frac{4}{5}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的和，考查放縮法證明數(shù)列不等式，屬中檔題．