Question

4．在△ABC中，已知$sin（A+\frac{π}{6}）=2cosA$．
（1）求tanA；
（2）若$B∈（0，\frac{π}{3}）$，且$sin（A-B）=\frac{3}{5}$，求sinB．

Answer 1

分析 （1）利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡可得sinA=$\sqrt{3}$cosA，結(jié)合范圍A∈（0，π），且cosA≠0，即可求得tanA的值．
（2）由（1）及范圍$B∈（0，\frac{π}{3}）$，可求$A-B=\frac{π}{3}-B∈（0，\frac{π}{3}）$，利用已知及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos（A-B）的值，進而利用兩角差的正弦函數(shù)公式即可計算得解．

解答 解：（1）因為 $sin（A+\frac{π}{6}）=2cosA$，得$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA=2cosA$，
即sinA=$\sqrt{3}$cosA，
因為A∈（0，π），且cosA≠0，
所以$tanA=\sqrt{3}$，
（2）由（1）知$A=\frac{π}{3}$，
因為$B∈（0，\frac{π}{3}）$，
所以$A-B=\frac{π}{3}-B∈（0，\frac{π}{3}）$
因為sin²（A-B）+cos²（A-B）=1，$sin（A-B）=\frac{3}{5}$，
所以：cos（A-B）=$\frac{4}{5}$，
所以$sinB={sin^{\;}}[A-（A-B）]=sinAcos（A-B）-cosAsin（A-B）=\frac{{4\sqrt{3}-3}}{10}$．

點評 本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．