Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²-2lnx-2ax（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，試討論關(guān)于x的方程f（x）+ax²=0實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）將a=0代入f（x），求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可；
（2）令g（x）=f（x）+ax²=（a+1）x²-2lnx-2ax，x∈（1，+∞），求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，確定g（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，從而判斷函數(shù)的零點(diǎn)即方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=x²-2lnx，（x＞0），
f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴f（x）_極小值=f（1）=1，無(wú)極大值；
（2）令g（x）=f（x）+ax²=（a+1）x²-2lnx-2ax，x∈（1，+∞），
g′（x）=2（a+1）x-$\frac{2}{x}$-2a=$\frac{2[（a+1）x+1]（x-1）}{x}$，
①當(dāng)-$\frac{1}{a+1}$≤1即a≤-2，或a≥-1時(shí)，
g′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，
g（x）在（1，+∞）遞增，
∴g（x）＞g（1）=1-a，
若1-a≥0，即a≤1時(shí)，g（x）＞0在（1，+∞）恒成立，
即程f（x）+ax²=0無(wú)實(shí)數(shù)根，
若1-a＜0，即a＞1時(shí)，存在x₀，使得g（x₀）=0，
即程f（x）+ax²=0有1個(gè)實(shí)數(shù)根，
②當(dāng)-$\frac{1}{a+1}$＞1即-2＜a＜-1時(shí)，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜-$\frac{1}{a+1}$，
令g′（x）＜0，解得：x＞-$\frac{1}{a+1}$，
∴g（x）在（1，-$\frac{1}{a+1}$）遞增，在（-$\frac{1}{a+1}$，+∞）遞減，
而g（1）=1-a＞0，故g（x）＞0在（1，-$\frac{1}{a+1}$）上恒成立，
x→+∞時(shí)，g（x）=（a+1）x²-2lnx-2ax→-∞，
∴存在x₀，使得g（x₀）=0，
即方程f（x）+ax²=0在（-$\frac{1}{a+1}$，+∞）上有1個(gè)實(shí)數(shù)根，
綜上：a≤-2或-1≤a≤1時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，-2＜a＜-1或a＞1時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想，是一道綜合題．