Question

3．已知函數(shù)f（x）=（-2ax+a+1）e^x．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[0，1]上單調，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先求出函數(shù)的導數(shù)，進一步對參數(shù)a進行分類討論，最后求出函數(shù)的單調區(qū)間．
（Ⅱ）利用上步的結論，函數(shù)的單調區(qū)間和[0，1]的關系展開討論，最后求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=（-2ax+a+1）e^x，
則：f′（x）=-2ae^x+（-2ax+a+1）e^x=（-2ax+1-a）e^x，
（1）當a=0時，f′（x）=e^x＞0，
所以：函數(shù)在x∈R上為單調遞增函數(shù)．
（2）當a≠0時，
令：f′（x）=0，
解得：x=$\frac{1-a}{2a}$，
所以：①當a＞0時，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為：（-$∞，\frac{1-a}{2a}）$，函數(shù)的遞減區(qū)間為：$（\frac{1-a}{2a}，+∞）$．
②當a＜0時，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為：$（\frac{1-a}{2a}，+∞）$，函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為：$（-∞，\frac{1-a}{2a}）$．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在[0，1]上單調，
（1）當a＞0時，若函數(shù)為單調遞增函數(shù)，
則：$\frac{1-a}{2a}≥1$，
解得：a$≤\frac{1}{3}$，
故：$0＜a≤\frac{1}{3}$．
（2）當a＞0時，若函數(shù)為單調遞減函數(shù)，
則：$\frac{1-a}{2a}≤0$，
解得：a≥1．
（3）當a＜0時，若函數(shù)為單調遞增函數(shù)，
則：$\frac{1-a}{2a}≤0$，
解得：a≥1，
與a＜0矛盾，故舍去．
（4）當a＜0時，若函數(shù)為單調遞減函數(shù)，
則：[0，1]與$（-∞，\frac{1-a}{2a}）$沒有關系，
所以綜上所述：a的取值范圍為：$0＜a≤\frac{1}{3}$或a≥1

點評 本題考查的知識要點：利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間和參數(shù)的取值范圍，主要考查學生分類討論的思想和學生的運算能力．