Question

【題目】已知⊙H被直線x-y-1=0,x+y-3=0分成面積相等的四個部分,且截x軸所得線段的長為2。

(I)求⊙H的方程;

(Ⅱ)若存在過點P(0,b)的直線與⊙H相交于M，N兩點,且點M恰好是線段PN的中點,求實數(shù)b的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（I）設(shè)的方程為，由題意可知圓心一定是兩直線的交點，可得交點為，所以. 又截x軸所得線段的長為2，所以.，即可得到⊙H的方程;

（II）法一：如圖， 的圓心，半徑，

過點N作的直徑，連結(jié).

由題可得“點是線段的中點”等價于“圓上存在一點使得的長等于的直徑”.

由此得到實數(shù)b的取值范圍

法二：如圖， 的圓心，半徑，連結(jié)，

過作交于點，并設(shè).

由題意得，所以，

又因為，所以，由此得到實數(shù)b的取值范圍

試題解析：（I）設(shè)的方程為，

因為被直線分成面積相等的四部分，

所以圓心一定是兩直線的交點，

易得交點為，所以.

又截x軸所得線段的長為2，所以.

所以的方程為.

（II）法一：如圖， 的圓心，半徑，

過點N作的直徑，連結(jié).

當與不重合時， ，

又點是線段的中點；

當與重合時，上述結(jié)論仍成立.

因此，“點是線段的中點”等價于“圓上存在一點使得的長等于的直徑”.

由圖可知，即，即.

顯然，所以只需，即，解得.

所以實數(shù)的取值范圍是.

法二：如圖， 的圓心，半徑，連結(jié)，

過作交于點，并設(shè).

由題意得，

所以，

又因為，所以，

將代入整理可得，

因為，所以，，解得.