Question

【題目】如圖，四棱錐 底面為正方形，已知 ，，點(diǎn) 為線(xiàn)段 上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），點(diǎn) 在線(xiàn)段 上，且 ．

（1）求證：；

（2）若 為線(xiàn)段 中點(diǎn)，求直線(xiàn) 與平面 所成的角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，由相似三角形的性質(zhì)可知 ，從而得，利用線(xiàn)面平行的判定定理可得直線(xiàn)平面；（2）由于 ，， 兩兩垂直，所以，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) ，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線(xiàn) 的方向向量，根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組，求出平面 的一個(gè)法向量，空間向量夾角余弦公式，可求解 與平面 夾角的正弦值，進(jìn)而可求余弦值.

試題解析：（1） 延長(zhǎng) ，交 于點(diǎn) ，連接 ，

由相似知 ，可得：，

，，

則 ．

（2） 由于 ，， 兩兩垂直，

以 ，， 為 ，， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè) ，則 ，，，，，

則 ，平面 的法向量為 ，

設(shè)向量 與 的夾角為 ，則 ，

則 與平面 夾角的余弦值為 ．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線(xiàn)面平行的判定定理以及利用空間向量求線(xiàn)面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線(xiàn)的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線(xiàn)垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.