Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（Ⅰ）  求f（x）在[$0，\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．
（Ⅱ） 若f（x）在[-$\frac{π}{6}$，m]上不單調(diào)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由兩角和差的正弦公式可得f（x）的解析式，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出f（x）在[$0，\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cosx•$\sqrt{3}$sinx-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
當(dāng)x∈[$0，\frac{π}{2}$]時(shí)，（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
由正弦函數(shù)y=sinx在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]的圖象可知，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[f（-$\frac{π}{6}$），f（$\frac{π}{2}$）]=[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）在[$0，\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值分別為1，-$\frac{1}{2}$，
（Ⅱ）：由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$（k∈z），
f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]單調(diào)遞增，
∵f（x）在[-$\frac{π}{6}$，m]上不單調(diào)，
∴m＞$\frac{π}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．