Question

19．某超市五一促銷，隨機對10～60歲的人群抽查了n人，調(diào)查的每個人若能完整寫出5個或5個以上外國節(jié)日，則能獲得20元優(yōu)惠券的獎勵，若能完整寫出8個或8個以上中國傳統(tǒng)節(jié)日就能獲得30元優(yōu)惠券，調(diào)查的每個人都同時回答了這兩個問題，統(tǒng)計結(jié)果如下表
（Ⅰ）若以表中的頻率近似看作各年齡段回答問題獲得優(yōu)惠劵的概率，組織者隨機請一個家庭中的兩名成員（大人42歲，孩子16歲）回答這兩個問題，兩個調(diào)查相互獨立均無影響，分別寫出這個家庭兩個成員獲得獎勵的分布列并求該家庭獲得獎勵的期望；
（Ⅱ）求該家庭獲得獎勵為50元優(yōu)惠券的概率．

年齡段	外國傳統(tǒng)節(jié)日		中國傳統(tǒng)節(jié)日
	獲優(yōu)惠劵的人數(shù)	占本組人數(shù)頻率	獲優(yōu)惠券的人數(shù)	占本組人數(shù)頻率
[10，20）	30	a	30	0.5
[20，30）	48	0.8	36	0.6
[30，40）	36	0.6	48	0.8
[40，50）	20	0.5	24	b
[50，60]	4	0.2	16	0.8

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意：依題意得在[10，20）年齡段抽查了30÷0.5=60，在[40，50）10，20）年齡段抽查了20÷0.5=0.5，求出a，b，設(shè)孩子獲得獎勵為ξ₁，大人獲得獎勵為ξ₂，則ξ₁，ξ₂為隨機變量，求出分布列．再利用數(shù)學(xué)期望的計算公式即可得出．
（Ⅱ）該家庭獲得獎勵為50元優(yōu)惠券包括“ξ₁=50且ξ₂=0”；“ξ₁=20且ξ₂=30”“ξ₁=30且ξ₂=20”“ξ₁=0且ξ₂
=50”四種情況，由ξ，η的分布列即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依題意得在[10，20）年齡段抽查了30÷0.5=60 
在[40，50）10，20）年齡段抽查了20÷0.5=0.5 
所以a=30÷60=0.5，b=24÷40=0.6，…2分
設(shè)孩子獲得獎勵為ξ₁，大人獲得獎勵為ξ₂，“ξ₁=0”表示小孩兩個調(diào)查都沒有獲得優(yōu)惠券
“ξ₁=20”表示小孩獲得20元優(yōu)惠券，但沒有獲得30優(yōu)惠劵
“ξ₁=30”表 示小孩沒有獲得20元優(yōu)惠券，但獲得30優(yōu)惠劵
“ξ₁=50”表示既獲得20元優(yōu)惠券，又獲得30優(yōu)惠劵
大人同理；則ξ₁，ξ₂為隨機變量，其分布列分別為：（各3分）

ξ	0	20	30	50
P（ξ）	0.25	0.25	0.25	0.25

η	0	20	30	50
P（η）	0.2	0.2	0.3	0.3

Eξ₁=25，Eξ₂=28  
該家庭獲得獎勵的期望Eξ=Eξ₁+Eξ₂=53       9分
（Ⅱ）該家庭獲得獎勵為50元優(yōu)惠券包括“ξ₁=50且ξ₂=0”；“ξ₁=20且ξ₂=30”“ξ₁=30且ξ₂=20”“ξ₁=0且ξ₂
=50”四種情況
P=0.25×0.3+0.25×0.3+0.25×0.2+0.25×0.2=0.25          12分

點評 本題考查了隨機變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望的計算方法，屬于中檔題．