Question

11．設(shè)總體X的概率密度為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{λ}^{2}x{e}^{-λx}\\;x＞0}\\{0\\;其他}\end{array}\right.$，其中參數(shù)λ（λ＞0），未知X₁，X₂，…，X_n是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本．
（1）求參數(shù)λ的估計(jì)量；
（2）求參數(shù)λ的最大似然估計(jì)量．

Answer 1

分析 考查矩估計(jì)和最大似然估計(jì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，最大似然估計(jì)從構(gòu)造似然函數(shù)入手．

解答 解：（1）按照據(jù)估計(jì)，根據(jù)EX=$\overline{X}$
∴EX=${∫}_{0}^{+∞}$λ²x²e^-λxdx=$\frac{2}{λ}$=$\overline{X}$
∴λ=$\frac{2}{X}$；
（2）構(gòu)造最大似然函數(shù)L（X₁，X₂，…，X_n；λ）=πf（X_i；λ）=${λ}^{2n}π{x}_{i}{e}^{-λ}$-$λ\sum_{i=1}^{n}$x_i
兩邊取對(duì)數(shù)：lnL=2nlnλ+$\sum_{i=1}^{n}$lnx_i-λ$\sum_{i=1}^{n}$x_i•$\frac{dlnL}{dλ}$=0
∴λ=$\frac{2}{X}$．

點(diǎn)評(píng) 基礎(chǔ)題，最大似然函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)是常用技巧．