Question

2．函數(shù)f（x）=4-$\frac{a}{{e}^{x}}$與函數(shù)y=2x有兩個交點，則實數(shù)a的取值范圍為（0，2）．

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=4-$\frac{a}{{e}^{x}}$-2x，對g（x）求導(dǎo)，討論g′（x）的正負(fù)以及對應(yīng)g（x）的單調(diào)性，得出函數(shù)y=g（x）有兩個零點的等價條件，從而求出a的取值范圍

解答 解：設(shè)g（x）=4-$\frac{a}{{e}^{x}}$-2x
∴g′（x）=$\frac{a}{{e}^{x}}$-2
下面分兩種情況討論：
①a≤0時，g′（x）＜0在R上恒成立，∴f（x）在R上是減函數(shù)，不合題意；
②a＞0時，由g′（x）=0，得x=ln$\frac{a}{2}$，當(dāng)x變化時，g′（x）、g（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，ln$\frac{a}{2}$）	ln$\frac{a}{2}$	（ln$\frac{a}{2}$，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	遞增	極大值2-2ln$\frac{a}{2}$	遞減

∴g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，ln$\frac{a}{2}$），減區(qū)間是（ln$\frac{a}{2}$，+∞）；
∴函數(shù)g=f（x）有兩個零點等價于如下條件同時成立：
∴g（ln$\frac{a}{2}$）＞0由g（ln$\frac{a}{2}$）＞0，即2-2ln$\frac{a}{2}$＞0，
解得0＜a＜2e；
∴a的取值范圍是（0，2e）．
故答案為：（0，2e）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與零點問題，也考查了函數(shù)思想、化歸思想和分析問題、解決問題的能力．