Question

17．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞30成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式求出等比數(shù)列的首項和公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=2ⁿ$lo{g}_{\frac{1}{2}}{2}^{n}$=-n•2ⁿ，利用錯位相減法求出數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，從而得到S_n+n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2，由此能求出使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞30成立的正整數(shù)n的最小值．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q，
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，
∵a₂+a₃+a₄=28，∴2（a₃+2）+a₃=28，解得a₃=8，
∴a₂+a₄=20，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=20}\\{{a}_{1}{q}^{2}=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=32}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∵單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=32}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$（舍），
∴a_n=2ⁿ．
（2）∵b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=2ⁿ$lo{g}_{\frac{1}{2}}{2}^{n}$=-n•2ⁿ，
∴$-{S}_{n}=1×2+2×{2}^{2}+3×{2}^{3}+…+n×{2}^{n}$，①
-2${S}_{n}=1×{2}^{2}+2×{2}^{3}+3×{2}^{4}+…+n×{2}^{n+1}$，②
①-②，得S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n×2ⁿ⁺¹
=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n+n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2，
∵S_n+n•2ⁿ⁺¹＞30，∴2ⁿ⁺¹-2＞30，∴2ⁿ⁺¹＞32=2⁵，
∴n+1＞5，∴n＞4，
∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞30成立的正整數(shù)n的最小值為5．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查滿足條件的最小正整數(shù)的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)和錯位相減求和法的合理運用．