Question

10．已知F₁，F(xiàn)₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0且a≠b）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．下面四個(gè)命題（　�。�

• A． △PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心必在直線x=a上
• B． △PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心必在直線x=b上
• C． △PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心必在直線OP上
• D． △PF₁F₂的內(nèi)切圓必通過點(diǎn)（b，0）

Answer 1

分析 設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓分別與PF₁、PF₂切于點(diǎn)A、B，與F₁F₂切于點(diǎn)M，則可知|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，點(diǎn)P在雙曲線右支上，根據(jù)雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，因此|F₁M|-|F₂M|=2a，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），代入即可求得x，判斷A，D正確．

解答 解：設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓分別與PF₁、PF₂切于點(diǎn)A、B，與F₁F₂切于點(diǎn)M，
則|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，
又點(diǎn)P在雙曲線右支上，
所以|PF₁|-|PF₂|=2a，故|F₁M|-|F₂M|=2a，而|F₁M|+|F₂M|=2c，
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），
則由|F₁M|-|F₂M|=2a可得（x+c）-（c-x）=2a
解得x=a，顯然內(nèi)切圓的圓心與點(diǎn)M的連線垂直于x軸，
故D不正確．
故答案為A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．特別是靈活利用了雙曲線的定義．