Question

15．已知f（x）═ax-$\frac{a}{x}$-51nx，g（x）=x²-mx+4
（1）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，若?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求出f′（2）=0，即可求出a的值；
（2）對(duì)g（x）進(jìn)行配方，討論其最值問題，根據(jù)題意?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，總有f（x₁）≥g（x₂）成立，只要要求f（x）_max≥g（x）_max，即可，從而求出m的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）═ax-$\frac{a}{x}$-51nx，
∴f′（x）═a+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{5}{x}$，
∵x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（2）═a+$\frac{a}{4}$-$\frac{5}{2}$=0，
∴a=2，
經(jīng)檢驗(yàn)a=2，x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2x-$\frac{2}{x}$-5lnx，
g（x）=x²-mx+4=$（x-\frac{m}{2}）^{2}$+4-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，總有f（x₁）≥g（x₂）成立，
∴要求f（x）的最大值大于g（x）的最大值即可，
f′（x）=$\frac{（2x-1）（x-2）}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0，
解得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=2，
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$，x＞2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．
∵x₁∈（0，1），
∴f（x）在x=$\frac{1}{2}$出取得極大值，也是最大值，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=1-4+5ln2=5ln2-3，
∵g（x）=x²-mx+4=$（x-\frac{m}{2}）^{2}$+4-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
若m≤3，g_max（x）=g（2）=4-2m+4=8-2m，
∴5ln2-3≥8-2m，∴m≥$\frac{11-5ln2}{2}$，
∵$\frac{11-5ln2}{2}$＞3，故m不存在；
若m＞3時(shí)，g_max（x）=g（1）=5-m，
∴5ln2-3≥5-m，∴m≥8-5ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、通過構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解決問題的方法，考查了轉(zhuǎn)化能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．