Question

1．橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其左焦點(diǎn)F₁到點(diǎn)P（2，1）的距離是$\sqrt{10}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若直線l：y=kx+m被圓O：x²+y²=3截得的弦長(zhǎng)為3，且l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，△AOB面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）直線l：y=kx+m被圓O：x²+y²=3所截弦長(zhǎng)為3，確定m，k的關(guān)系，直線代入橢圓方程，表示出面積，換元，利用配方法，即可求得三角形的面積的最大值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{（2+c）^{2}+1}$=$\sqrt{10}$，
解得c=1，a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）圓O的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為$\sqrt{3}$，
直線l：y=kx+m被圓O：x²+y²=3所截弦長(zhǎng)為3，
即有3=2$\sqrt{3-an5frj0^{2}}$，解得d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即為m²=$\frac{3}{4}$（1+k²），
直線l代入橢圓方程，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則△=16k²m²-8（1+2k²）（m²-1）＞0，即為1+2k²＞m²，
x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{16{k}^{2}{m}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{8（{m}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{2（1+5{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$，
令1+2k²=t（t≥1），即k²=$\frac{t-1}{2}$，
則|AB|=$\frac{\sqrt{t+1}•\sqrt{\frac{5t-3}{2}}}{t}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{\frac{-3}{{t}^{2}}+\frac{2}{t}+5}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{16}{3}}$，
當(dāng)t=3時(shí)，即k=±1時(shí)，|AB|取得最大值$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
則△AOB面積S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{4}$|AB|，
即有k=±1，m=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)，S取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意運(yùn)用離心率公式和兩點(diǎn)的距離公式，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．