【題目】如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，，為的中點(diǎn).

（1）證明：平面.

（2）若是等邊三角形，求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析，（2）

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形三線合一證明和即可得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解二面角.

（1）證明：連接.

因?yàn)?/span>，，，所以，所以.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，且，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面.

（2）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>是等邊三角形，所以.

由（1）可知平面，則，，兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過作的平行線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)榈酌?/span>是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以.

因?yàn)?/span>是等邊三角形，所以.

所以，，，，則，.

設(shè)平面的法向量，

則，令，得.

易知平面的一個(gè)法向量為，

記二面角為，則，

故.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中,分別為內(nèi)角所對(duì)的邊，且滿足.

(Ⅰ)求的大�。�

(Ⅱ)現(xiàn)給出三個(gè)條件：①； ②；③.

試從中選出兩個(gè)可以確定的條件，寫出你的選擇并以此為依據(jù)求的面積 (只需寫出一個(gè)選定方案即可,選多種方案以第一種方案記分)

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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)，左、右頂點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，橢圓上任意一點(diǎn)（不與重合）與連線的斜率乘積均為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，試問：四邊形可否為菱形？并請(qǐng)說明理由.

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【題目】已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，，且圓心在直線：上．

（1）求圓的方程；

（2）設(shè)圓與軸相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上不同于、的任意一點(diǎn)，直線、交軸于、點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，以為直徑的圓是否經(jīng)過圓內(nèi)一定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

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【題目】己知二次函數(shù)（、、均為實(shí)常數(shù)，）的最小值是0，函數(shù)的零點(diǎn)是和，函數(shù)滿足，其中，為常數(shù).

（1）已知實(shí)數(shù)、滿足、，且，試比較與的大小關(guān)系，并說明理由；

（2）求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)實(shí)施“光盤行動(dòng)”以后,某自助啤酒吧也制定了自己的行動(dòng)計(jì)劃,進(jìn)店的每一位客人需預(yù)交元,啤酒根據(jù)需要自己用量杯量取,結(jié)賬時(shí),根據(jù)每桌剩余酒量,按一定倍率收費(fèi)(如下表),每桌剩余酒量不足升的,按升計(jì)算(如剩余升,記為剩余升).例如:結(jié)賬時(shí),某桌剩余酒量恰好為升,則該桌的每位客人還應(yīng)付元.統(tǒng)計(jì)表明飲酒量與人數(shù)有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,下面是隨機(jī)采集的組數(shù)據(jù)(其中表示飲酒人數(shù),(升)表示飲酒量):,,,,.

剩余酒量(單位:升)

升以上(含升)

結(jié)賬時(shí)的倍率

（1）求由這組數(shù)據(jù)得到的關(guān)于的回歸直線方程;

（2）小王約了位朋友坐在一桌飲酒,小王及朋友用量杯共量取了升啤酒,這時(shí),酒吧服務(wù)生對(duì)小王說,根據(jù)他的經(jīng)驗(yàn),小王和朋友量取的啤酒可能喝不完,可以考慮再邀請(qǐng)位或位朋友一起來飲酒,會(huì)更劃算.試向小王是否該接受服務(wù)生的建議？

參考數(shù)據(jù):回歸直線的方程是,其中,.

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【題目】如圖，二面角中，，射線，分別在平面，內(nèi)，點(diǎn)A在平面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)B，設(shè)二面角、與平面所成角、與平面所成角的大小分別為，則（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知圓與定點(diǎn)，動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓相切．

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（2）若過定點(diǎn)的直線交軌跡于不同的兩點(diǎn)、，求弦長(zhǎng)的最大值．

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【題目】某冰糖橙，甜橙的一種，云南著名特產(chǎn)，以味甜皮薄著稱。該橙按照等級(jí)可分為四類：珍品、特級(jí)、優(yōu)級(jí)和一級(jí)（每箱有5kg）,某采購(gòu)商打算訂購(gòu)一批橙子銷往省外，并從采購(gòu)的這批橙子中隨機(jī)抽取100箱，利用橙子的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下表：

等級(jí)

珍品

特級(jí)

優(yōu)級(jí)

一級(jí)

箱數(shù)

40

30

10

20

（1）若將頻率改為概率，從這100箱橙子中有放回地隨機(jī)抽取4箱，求恰好抽到2箱是一級(jí)品的概率：

（2）利用樣本估計(jì)總體，莊園老板提出兩種購(gòu)銷方案供采購(gòu)商參考：

方案一：不分等級(jí)賣出，價(jià)格為27元/kg;

方案二：分等級(jí)賣出，分等級(jí)的橙子價(jià)格如下：

等級(jí)

珍品

特級(jí)

優(yōu)級(jí)

一級(jí)

售價(jià)（元/kg）

36

30

24

18

從采購(gòu)商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？

（3）用分層抽樣的方法從這100箱橙子中抽取10箱，再?gòu)某槿〉?/span>10箱中隨機(jī)抽取3箱，X表示抽取的是珍品等級(jí)，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

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