Question

19．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1-a_n=3•2²ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=na_n，求數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過a_n+1-a_n=3•2²ⁿ⁺¹可知a_n-a_n-1=3•2^2n-1、a_n-1-a_n-2=3•2^2n-3、…、a₂-a₁=3•2³，進(jìn)而累加計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）可知b_n=na_n=n（2²ⁿ⁺¹-6），利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可知1•2³+2•2⁵+3•2⁷+…+（n-1）•2^2n-1+n•2²ⁿ⁺¹=$\frac{8}{9}$+$\frac{1}{9}$（3n-1）•2²ⁿ⁺³，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1-a_n=3•2²ⁿ⁺¹，
∴a_n-a_n-1=3•2^2n-1，a_n-1-a_n-2=3•2^2n-3，…，a₂-a₁=3•2³，
累加得：a_n-a₁=3•（2³+2⁵+…+2^2n-1）=3•$\frac{{2}^{3}（1-{2}^{2（n-1）}）}{1-{2}^{2}}$=2²ⁿ⁺¹-8，
∴a_n=a₁+2²ⁿ⁺¹-8=2²ⁿ⁺¹-6；
（Ⅱ）由（I）可知b_n=na_n=n（2²ⁿ⁺¹-6），
記數(shù)列{n•2²ⁿ⁺¹}的前n項(xiàng)和為T_n，則
T_n=1•2³+2•2⁵+3•2⁷+…+（n-1）•2^2n-1+n•2²ⁿ⁺¹，
4T_n=1•2⁵+2•2⁷+3•2⁹+…+（n-1）•2²ⁿ⁺¹+n•2²ⁿ⁺³，
兩式相減得：-3T_n=2³+2⁵+2⁷+2⁹+…+2²ⁿ⁺¹-n•2²ⁿ⁺³，
=$\frac{{2}^{3}（1-{2}^{2n}）}{1-{2}^{2}}$-n•2²ⁿ⁺³
=-$\frac{8}{3}$-$\frac{1}{3}$（3n-1）•2²ⁿ⁺³，
∴T_n=$\frac{8}{9}$+$\frac{1}{9}$（3n-1）•2²ⁿ⁺³，
∴數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n=T_n-6•$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{8}{9}$+$\frac{1}{9}$（3n-1）•2²ⁿ⁺³-3n（n+1）．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，利用累加法、錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．