Question

3．設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），當(dāng)x≠y時(shí)，f（x）≠f（y）
（1）證明：f（0）=1；
（2）證明：對(duì)任意的x∈R都有f（x）＞0；
（3）證明：函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
（4）若f（1）=2，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（4^x）≤$\frac{f（c）}{4f（-{2}^{x+1}）}$恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，令x=1，y=0，即可求解，
（2）根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷證明．
（3）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，結(jié)合當(dāng)當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，可得f（x₁）＞f（x₂），進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性．
（4）利用函數(shù)的單調(diào)性以及抽象函數(shù)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）令x=1，y=0，則f（0+1）=f（0）f（1）=f（1），
∵f（1）≠0，
∴f（0）=1．
（2）∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1
∴當(dāng)x＜0，則-x＞0，
得f（x-x）=f（x）f（-x）=f（0）=1，
得$f（x）=\frac{1}{f（-x）}＞0$，
故對(duì)于任意x∈R，都有f（x）＞0，
（3）∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1
∴設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，
則x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（4）若f（1）=2，則f（1）f（1）=f（1+1）=f（2），
即f（2）=2×2=4，
則不等式f（4^x）≤$\frac{f（c）}{4f（-{2}^{x+1}）}$恒成立等價(jià)為f（4^x）•4•f（-2^x+1）≤f（c）恒成立，
即f（4^x）•f（2）•f（-2^x+1）≤f（c）
則f（4^x+2-2^x+1）≤f（c）
∵函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴不等式等價(jià)為4^x+2-2^x+1≤c，
即（2^x）²+2-2•2^x≤c，
設(shè)t=2^x，∵x∈[-1，1]，
∴t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
則y=g（t）=t²-2t+2=（t-1）²+1，
∵t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
∴當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù)y=g（t）取得最大值g（2）=2，
則c≥2，
即實(shí)數(shù)c的取值范圍是[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性證明問(wèn)題．抽象函數(shù)的單調(diào)性的判定，以及賦值法的應(yīng)用，在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)單調(diào)性的定義、轉(zhuǎn)化法以及賦值法等知識(shí)．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力，綜合性較強(qiáng)．