【題目】已知函數(a∈R).
(1)若曲線y=f(x)在x=e處切線的斜率為﹣1,求此切線方程;
(2)若f(x)有兩個極值點x1,x2,求a的取值范圍,并證明:x1x2>x1+x2.
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
(1)求出函數的導數,求出的值以及切點坐標,求出切線方程即可;
(2)求出函數的導數,得,令,根據函數的單調性求出的范圍,從而證明結論.
(1)∵f'(x)=lnx﹣ax,∴f'(e)=1﹣ae=﹣1,解得,
∴f(e)=﹣e,故切點為(e,﹣e),所以曲線y=f(x)在x=e處的切線方程為x+y=0.
(2)證明:f'(x)=lnx﹣ax,令f'(x)=0,得.令,
則,且當0<x<1時,g(x)<0;當x=1時,g(x)=0;x>1時,g(x)>0.令g'(x)=0,得x=e,且當0<x<e時,g'(x)>0;當x>e時,g'(x)<0.
故g(x)在(0,e)遞增,在(e,+∞)遞減,所以.
所以當a<0時,f(x)有一個極值點;時,f(x)有兩個極值點;
當時,f(x)沒有極值點.綜上,a的取值范圍是.
因為x1,x2是f(x)的兩個極值點,所以即…①
不妨設x1<x2,則1<x1<e,x2>e,
因為g(x)在(e,+∞)遞減,且x1+x2>x2,所以,即…②.由①可得lnx1+lnx2=a(x1+x2),即,
由①,②得 ,所以
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】商店出售茶壺和茶杯,茶壺定價每個20元,茶杯每個5元,該商店推出兩種優(yōu)惠辦法:(1)買一個茶壺贈一個茶杯;(2)按總價的92%付款.
某顧客需購買茶壺4個,茶杯若干個(不少于4個),若購買茶杯數x個,付款y(元),分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數關系式,并討論該顧客買同樣多的茶杯時,兩種辦法哪一種更優(yōu)惠。
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】數集M滿足條件:若,則.
(1)若,求集合M中一定存在的元素;
(2)集合M內的元素能否只有一個?請說明理由;
(3)請寫出集合M中的元素個數的所有可能值,并說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某學校需要從甲、乙兩名學生中選一人參加數學競賽,抽取了近期兩人次數學考試的成績,統(tǒng)計結果如下表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
甲的成績(分) | |||||
乙的成績(分) |
(1)若從甲、乙兩人中選出一人參加數學競賽,你認為選誰合適?請說明理由.
(2)若數學競賽分初賽和復賽,在初賽中有兩種答題方案:
方案一:每人從道備選題中任意抽出道,若答對,則可參加復賽,否則被淘汰.
方案二:每人從道備選題中任意抽出道,若至少答對其中道,則可參加復賽,否則被潤汰.
已知學生甲、乙都只會道備選題中的道,那么你推薦的選手選擇哪種答題方條進人復賽的可能性更大?并說明理由.
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