Question

18．如圖，直角三角形ABC的頂點坐標A（-2，0）、B（0，$-2\sqrt{2}$），頂點C在x軸上，點P為線段OA的中點，設圓M是△ABC的外接圓，若DE是圓M的任意一條直徑，試探究$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PE}$是否是定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 先求出圓M的方程，再設過圓心M的任意一直線為x=my+1與圓的方程聯(lián)立，利用向量的數量積公式，即可得出結論．

解答 解：由題意，△AOB∽△BOC，∴$\frac{{|{AO}|}}{{|{BO}|}}$=$\frac{{|{BO}|}}{{|{CO}|}}$，
∴|CO|=4 …（2分）
∴C（4，0），AC中點為M（1，0），半徑為3
∴圓M的方程（△ABC的外接圓）為（x-1）²+y²=3²…（4分）
設過圓心M的任意一直線為x=my+1，…（5分）
∴$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{{（x-1）}^2}+{y^2}=9}\end{array}}\right.$
∴（m²+1）y²=9…（7分）
設直線x=my+1與圓（x-1）²+y²=9的兩個交點為D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
則$\overrightarrow{PE}$=（x₁+1，y₁），$\overrightarrow{PD}$=（x₂+1，y₂），
∴$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PD}$=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=（my₁+2）（my₂+2）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+4…（9分）
由（m²+1）y²=9，得${y_1}{y_2}=-\frac{9}{{{m^2}+1}}$代入上式$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PD}$=-9+4=-5…（11分）
當ED為橫軸時，D（-2，0），E（4，0），$\overrightarrow{PD}$=（-1，0），$\overrightarrow{PE}$=（5，0）
∴$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PD}$=-5…（12分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查向量的數量積公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．