Question

10．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），直線l：x-2y-4=0與y軸交于B點(diǎn)，P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求以AB為直徑的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）圓E過A、B兩點(diǎn)，截直線l得到的弦長為$6\sqrt{5}$，求圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）證明以PA為直徑的動(dòng)圓必過除A點(diǎn)外的另一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心的坐標(biāo)，再求出半徑，繼而得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，根據(jù)圓心（a，b）到直線l的距離為d=$\frac{|a-2b-4|}{\sqrt{5}}$，以及圓E過A、B兩點(diǎn)，截直線l得到的弦長為$6\sqrt{5}$，得到方程組，解得即可；
（3）求出圓的方程，根據(jù)圓的方程建立方程組關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）直線l：x-2y-4=0與y軸交于B點(diǎn)，
∴B（0，-2），
∵A的坐標(biāo)為（0，8），
∴AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），|AB|=|8+2|=10，
∴以AB為直徑的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y-3）²=25，
（2）設(shè)圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
∵圓E過A、B兩點(diǎn)，截直線l得到的弦長為$6\sqrt{5}$，
∴圓心（a，b）到直線l的距離為d=$\frac{|a-2b-4|}{\sqrt{5}}$
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+（8-b）^{2}={r}^{2}}\\{{a}^{2}+（-2-b）^{2}={r}^{2}}\\{（3\sqrt{5}）^{2}+xjl7rxk^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=10}\\{b=3}\\{r=5\sqrt{5}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=-5}\\{b=3}\\{r=5\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-10）²+（y-3）²=125或（x+5）²+（y-3）²=50；
（3）：∵p為直線x-2y-4=0上的一動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)p（2m+4，m），設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)為D（x，y），
則以PA為直徑的圓的方程為x（x-2m-4）+（y-8）（y-m）=0，
即x²+y²-4x-8y+m（-2x-y+8）=0，②，
若直線過定點(diǎn)，則滿足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4x-8y=0}\\{-2x-y+8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$
∴必過定點(diǎn)（4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的方程的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及圓過定點(diǎn)問題，綜合考查學(xué)生的計(jì)算能力．