Question

7．已知M是焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）橢圓上任-點．且三角形F₁MF₂的面積的最大值$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）一直線l過F₂且與橢圓C交于A、B兩點，交y軸于點P，證明：$\frac{|PB|}{|B{F}_{2}|}$-$\frac{|PA|}{|A{F}_{2}|}$為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意得c=1，由三角形的面積公式及橢圓的范圍可得b=$\sqrt{3}$，由a，b，c的關(guān)系可得a，進而得到橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用韋達定理，由$\frac{|PB|}{|B{F}_{2}|}$-$\frac{|PA|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{{x}_{2}-0}{1-{x}_{2}}$-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}-1}$，化簡整理即可得到定值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意得c=1，三角形F₁MF₂的面積為$\frac{1}{2}$|y_M|•2c=|y_M|，
由橢圓的范圍可得|y_M|≤b，即有最大值為b=$\sqrt{3}$，
則a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2，即有橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）證明：設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程可得，
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
又P（0，-k），F(xiàn)₂（1，0），
即有$\frac{|PB|}{|B{F}_{2}|}$-$\frac{|PA|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{{x}_{2}-0}{1-{x}_{2}}$-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}-1}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}+1-（{x}_{1}+{x}_{2}）}$
=$\frac{8{k}^{2}-2（4{k}^{2}-12）}{4{k}^{2}-12+3+4{k}^{2}-8{k}^{2}}$=-$\frac{8}{3}$．
即$\frac{|PB|}{|B{F}_{2}|}$-$\frac{|PA|}{|A{F}_{2}|}$為定值．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意橢圓的范圍的運用，考查直線和橢圓方程的聯(lián)立，運用韋達定理，以及化簡整理的能力，屬于中檔題．