Question

16．{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$}構(gòu)成空間中的一個(gè)基底，$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$是$\overrightarrow{p}$=x₁$\overrightarrow{a}$+y₁$\overrightarrow$+z₁$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{q}$=x₂$\overrightarrow{a}$+y₂$\overrightarrow$+z₂$\overrightarrow{c}$共線的充分不必要條件．

Answer 1

分析 當(dāng)$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$時(shí)，$\overrightarrow{p}$與$\overrightarrow{q}$共線，判斷充分性成立；
當(dāng)$\overrightarrow{p}$與$\overrightarrow{q}$共線時(shí)，不一定滿足$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$，判斷必要性不成立．

解答 解：∵{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$}構(gòu)成空間中的一個(gè)基底，當(dāng)$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$時(shí)，
不妨設(shè)$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=λ，則$\overrightarrow{p}$=x₁$\overrightarrow{a}$+y₁$\overrightarrow$+z₁$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{q}$=x₂$\overrightarrow{a}$+y₂$\overrightarrow$+z₂$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{p}$=λ$\overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{p}$與$\overrightarrow{q}$共線，充分性成立；
當(dāng)$\overrightarrow{p}$=x₁$\overrightarrow{a}$+y₁$\overrightarrow$+z₁$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{q}$=x₂$\overrightarrow{a}$+y₂$\overrightarrow$+z₂$\overrightarrow{c}$共線時(shí)，
不妨令x₂=0，y₂=y₁，z₂=z₁，不滿足$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$，必要性不成立；
所以是充分不必要條件．
故答案為：充分不必要．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了充分與必要條件的判斷問題，也考查了空間向量的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．