Question

9．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求y=g（x）的圖象離原點(diǎn)O最近的對(duì)稱中心．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得g（x）的圖象離原點(diǎn)O最近的對(duì)稱中心．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象，可得A=1，$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$，∴ω=2．
再根據(jù)2•$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，故函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=sin（2x-$\frac{π}{6}$） 的圖象，
令2x-$\frac{π}{6}$=kπ，求得 x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
故當(dāng)k=0時(shí)，得到g（x）的圖象離原點(diǎn)O最近的對(duì)稱中心為（$\frac{π}{12}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值．還考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．