Question

如圖所示，離心率為

1

2

的橢圓Ω：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的點到其左焦點的距離的最大值為3，過橢圓Ω內(nèi)一點P的兩條直線分別與橢圓交于點A、C和B、D，且滿足

AP

=λ

PC

，

BP

=λ

PD

，其中λ為常數(shù)，過點P作AB的平行線交橢圓于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ）若點P（1，1），求直線MN的方程，并證明點P平分線段MN．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由離心率為

1

2

的橢圓Ω：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的點到其左焦點的距離的最大值為3，聯(lián)立a²=b²+c²，求出a，b，即可求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ）方法一：由

AP

=λ

PC

可得C的坐標．利用C，A在橢圓上，可得

7

12

(1+λ)2-

1

6

(1+λ)(3x1+4y1)=λ2-1，同理可得：

7

12

(1+λ)2-

1

6

(1+λ)(3x2+4y2)=λ2-1，求出AB的斜率，可得MN的斜率與方程，與橢圓方程聯(lián)立，即可得到結(jié)論；方法二：求出AB的斜率，可得MN的斜率與方程，與橢圓方程聯(lián)立，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題得e=

c

a

=

1

2

，a+c=3，聯(lián)立a²=b²+c²，
解得a=2，b=

3

，c=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（Ⅱ）方法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

AP

=λ

PC

可得C(

1-x1

λ

+1，

1-y1

λ

+1)．
∵點C在橢圓上，故

(1+λ-x1)2

4λ2

+

(1+λ-y1)2

3λ2

=1
整理得：

7

12

(1+λ)2-

1

6

(1+λ)(3x1+4y1)+(

x 2 1

4

+

y 2 1

3

)=λ2…（6分）
又點A在橢圓上可知

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，故有

7

12

(1+λ)2-

1

6

(1+λ)(3x1+4y1)=λ2-1…①
由

BP

=λ

PD

，
同理可得：

7

12

(1+λ)2-

1

6

(1+λ)(3x2+4y2)=λ2-1…②
②-①得：3（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，即kAB=-

3

4

…（9分）
又AB∥MN，故kMN=-

3

4

∴直線MN的方程為：y-1=-

3

4

(x-1)，即3x+4y-7=0．
由

x2 4 + y2 3 =1 3x+4y-7=0

可得：21x²-42x+1=0⇒x_M+x_N=2=2x_P
∴P是MN的中點，即點P平分線段MN…（12分）
（Ⅱ）方法二：∵

AP

=λ

PC

，

BP

=λ

PD

，∴

|AP|

|PC|

=

|BP|

|PD|

，即AB∥CD
在梯形ABCD中，設(shè)AB中點為M₁，CD中點為M₂，
過P作AB的平行線交AD，BC于點R，S
∵△APD與△BPC面積相等，∴RP=PS
∴M₁，M₂，P三點共線…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，
兩式相減得 3(x22-x12)+4(y22-y12)=0，
∴3（x₂-x₁）（x₂+x₁）+4（y₂-y₁）（y₂+y₁）=0
顯然x₂≠x₁，（否則AB垂直于x軸，∵P（1，1）不在x軸上，此時CD不可能垂直于x軸保持與AB平行）且x₁+x₂≠0（否則AB平行于x軸或經(jīng)過原點，此時M₁，M₂，P三點不可能共線）
∴3+4

(y2-y1)(y2+y1)

(x2-x1)(x2+x1)

=0
設(shè)直線AB斜率為k_AB，直線OM₁斜率為kOM1
∴3+4kAB

y2+y1 2

x2+x1 2

=0，即3+4kABkOM1=0…①
設(shè)直線CD斜率為k_CD，直線OM₂斜率為kOM2
同理，3+4kCDkOM2=0，又k_AB=k_CD，
∴kOM1=kOM2，即O，M₁，M₂三點共線…（8分）
∴O，M₁，M₂，P四點共線，∴kOM1=kOP=1，代入①得 kAB=-

3

4

…（9分）
∴直線MN的方程為 y-1=-

3

4

(x-1)，即3x+4y-7=0
聯(lián)立3x²+4y²=12得21x²-42x+1=0⇒x_M+x_N=2=2x_P
∴點P平分線段MN…（12分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識，考查學生分析解決問題的能力，有難度．