Question

9．若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足（b+2a²-6lna）²+|2c-d+6|=0，（a-c）²+（b-d）²的最小值為m，則函數(shù)f（x）=e^x+$\frac{1}{5}$mx-3零點(diǎn)所在的區(qū)間為（　�。�

• A． $（{-\frac{1}{4}，0}）$
• B． $（{0，\frac{1}{4}}）$
• C． $（{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}）$
• D． $（{\frac{1}{2}，1}）$

Answer 1

分析 由題意可得b=6lna-2a²，d=2c+6；而（a-c）²+（b-d）²的幾何意義是點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)（c，d）的距離的平方；從而化為求函數(shù)y=6lnx-2x²上的點(diǎn)到直線y=2x+6的距離的平方的最小值，從而由導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)，從而求出m，再由函數(shù)零點(diǎn)的判定定理求解即可．

解答 解：∵（b+2a²-6lna）²+|2c-d+6|=0，
∴b+2a²-6lna=0，2c-d+6=0；
即b=6lna-2a²，d=2c+6；
而（a-c）²+（b-d）²的幾何意義是點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)（c，d）的距離的平方；
故m是函數(shù)y=6lnx-2x²上的點(diǎn)到直線y=2x+6的距離的平方的最小值；
令y′=$\frac{6}{x}$-4x=2得，x=1；
故切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）；
故m=$（\frac{|2+6-（-2）|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}）^{2}$=20；
故函數(shù)f（x）=e^x+4x-3；
而f（$\frac{1}{4}$）=$\root{4}{e}$+1-3=$\root{4}{e}$-2＜0，
f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$+2-3=$\sqrt{e}$-1＞0；
故f（$\frac{1}{4}$）f（$\frac{1}{2}$）＜0；
故函數(shù)f（x）=e^x+$\frac{1}{5}$mx-3零點(diǎn)所在的區(qū)間為（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）；
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用及函數(shù)的應(yīng)用，同時考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．