Question

4．設(shè)$f（x）=\frac{{a{x^2}+bx+1}}{{{e^{x-1}}}}$，已知x=-1和x=1為f（x）的極值點(diǎn)．
（1）求a和b的值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性并求其最小值．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再根據(jù)x=-1和x=1為f（x）的極值點(diǎn)，代入繼而求出a，b的值，
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系即可求出．

解答 解：（I）因?yàn)?f'（x）=\frac{{-a{x^2}+（2a-b）x+b-1}}{{{e^{x-1}}}}$，
又x=-1和x=1為f（x）的極值點(diǎn)，
所以f'（-1）=f'（1）=0…（2分）
因?yàn)?\left\{{\begin{array}{l}{-3a+2b-1=0}\\{a-1=0}\end{array}}\right.$
解方程組得a=1，b=2． …（6分）
（2）因?yàn)閍=1，b=2，
所以$f（x）=\frac{{{x^2}+2x+1}}{{{e^{x-1}}}}$，$f'（x）=\frac{{1-{x^2}}}{{{e^{x-1}}}}$，…（7分）
令f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=1．…（8分）
因?yàn)楫?dāng)x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）＞0，…（10分）
所以f（x）在（-1，1）上是單調(diào)遞增的；
在（-∞，-1）和（1，+∞）上是單調(diào)遞減的．…（11分）
又因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0恒成立．
∴$f{（x）_{min}}=f（-1）=\frac{{{{（-1）}^2}+2（-1）+1}}{{{e^{-1-1}}}}=0$…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性極值最值的關(guān)系，關(guān)鍵是求導(dǎo)，屬于中檔題．