【題目】已知函數(shù),其中.

(Ⅰ)當(dāng)a=1時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:

(Ⅱ)求函數(shù)的極值;

(Ⅲ)若函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn),求a的取值范圍。

【答案】(Ⅰ)單調(diào)減區(qū)間為(1,+) ,增區(qū)間為(0,1); (Ⅱ)見解析(Ⅲ)a>1

【解析】

(Ⅰ)當(dāng)a=1, f′(x=,f′(x<0f′(x>0確定單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)f′(x,討論a0a0f′(x)的符號,確定單調(diào)性和極值;(Ⅲ)由(Ⅱ)知當(dāng) a0時,f(x)至多有一個零點(diǎn),舍去;當(dāng)a0時,函數(shù)的極小值為f(a)=設(shè)函數(shù)g(x)=lnx+x-1,求導(dǎo)確定gx):當(dāng)0<x<1時,g(x)<0;x>1時,g(x)>0,分情況討論:當(dāng)0<a1,f(a)=ag(a) 0,f(x)至多有一個零點(diǎn),不符合題意;當(dāng)a>1時,由零點(diǎn)存在定理確定()和(a,3a-1)各有一個零點(diǎn),則a可求

(Ⅰ)當(dāng)a=1時,, f′(x=

當(dāng)f′(x<0時,x>1; f′(x>0時,0<x<1

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(1,+) ,增區(qū)間為(0,1)

(Ⅱ)fx)的定義域是(0+∞),

f′(x,

a0,則f′(x)<0,此時fx)在(0,+∞)遞減,無極值

a0,則由f′(x)=0,解得:xa

當(dāng)0xa時,f′(x>0,當(dāng)xa時,f′(x<0,

此時fx)在(0a)遞增,在(a+∞)遞減;

∴當(dāng)x=a,函數(shù)的極大值為f(a)=,無極小值

(Ⅲ)(Ⅱ)可知

當(dāng) a0時,fx)在(0,+∞)遞減,則f(x)至多有一個零點(diǎn),不符合題意,舍去;

當(dāng)a0時,函數(shù)的極小值為f(a)=,

g(x)=lnx+x-1(x>0)

g(x)在(0+∞)單調(diào)遞增,又g(1)=0, 0<x<1時,g(x)<0;x>1時,g(x)>0

(i) 當(dāng)0<a1,f(a)=ag(a) 0,則函數(shù)f(x)至多有一個零點(diǎn),不符合題意,舍去;

(ii) 當(dāng)a>1時,f(a)=ag(a)>0

∴函數(shù)f(x)在()內(nèi)有一個零點(diǎn),

f(3a-1)=aln(3a-1)-

設(shè)h(x)=lnx-x(x>2)

h(x)在(2+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,則h(3a-1)<h(2)=ln2-2<0

∴函數(shù)fx)在(a,3a-1)內(nèi)有一個零點(diǎn).則當(dāng)a>1時,函數(shù)f(x)恰有兩個零點(diǎn)

綜上,函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)時,a>1

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某研究機(jī)構(gòu)對某校高二文科學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計分析,得下表數(shù)據(jù).

x

6

8

10

12

y

2

3

5

6

(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;

(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;

(3)試根據(jù)(2)中求出的線性回歸方程,預(yù)測記憶力為14的學(xué)生的判斷力.

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A. B. C. D.

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