Question

9．已知函數(shù)f（x）=|2^x-1-1|．
（1）作出函數(shù)y=f（x）的圖象；
（2）若a＜c，且f（a）＞f（c），求證：2^a+2^c＜4．

Answer 1

分析 （1）利用解析式可得分段函數(shù)，即可作出函數(shù)y=f（x）的圖象；
（2）確定a＜1，再分類(lèi)討論，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-1}-1，x≥1}\\{1-{2}^{x-1}，x＜1}\end{array}\right.$，其圖象如圖所示．
（2）證明：由圖知，f（x）在（-∞，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，
故結(jié)合條件知必有a＜1．
若c≤1，則2a＜2，2c≤2，所以2a+2c＜4；
若c＞1，則由f（a）＞f（c），得1-2a-1＞2c-1-1，即2c-1+2a-1＜2，所以2a+2c＜4．
綜上知，總有2a+2c＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)，考查不等式的證明，考查學(xué)生的作圖能力，屬于中檔題．