Question

4．函數(shù)f（x²-3）=log₂$\frac{{x}^{2}+6}{{x}^{2}+1}$，函數(shù)g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，g（x）=2^x．
  （1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）求關于x的方程g（x）=f（1）+a在實數(shù)集R內(nèi)有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用換元法求f（x），利用奇函數(shù)的性質(zhì)求g（x）的解析式；
（2）利用g（x）的解析式，求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）令x²-3=t（t≥-3），x²=3+t，
∴y=log₂$\frac{9+t}{4+t}$，
∴f（x）=log₂$\frac{9+x}{4+x}$（x≥-3），
設x＜0，則-x＞0，g（-x）=2^-x，
∵函數(shù)g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴g（x）=g（-x）=-2^-x，
∵g（0）=0，
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{2}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）f（1）=1，
∵關于x的方程g（x）=f（1）+a在實數(shù)集R內(nèi)有解，
∴1+a＞1或1+a=0或1+a＜-1，
∴a＞0或a=-1或a＜-2．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)解析式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．