Question

f（x）=

x

1+x2

是定義在（-1，1）上的函數(shù)
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f（x）是其定義域上的增函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）判斷函數(shù)奇偶性時，先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，再根據(jù)定義若f（-x）=f（x），則函數(shù)為偶函數(shù)，若f（-x）=-f（x），則函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性分四步：設(shè)自變量x₁，x₂∈D，x₁＜x₂--作差f（x₁）-f（x₂）--與0比較大小--做判斷．若f（x₁）＜f（x₂），則f（x）在D上為增函數(shù)；若f（x₁）＞f（x₂），則f（x）在D上為減函數(shù)．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
∵函數(shù)的定義域為（-1，1），關(guān)于原點對稱，
f（-x）=

-x

1+x2

=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明：設(shè)x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1(1+x22)-x2(1+x12)

(1+x12)(1+x22)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性的判斷和單調(diào)性的判斷與證明，注意用定義證明單調(diào)性時，應(yīng)嚴格按照步驟進行，注意變形．本題是一道基礎(chǔ)題．