Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ax2+bx

，則是否存在實數(shù)a，使得至少有一個正實數(shù)b，使函數(shù)f（x）的定義域和值域相同？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：把根號里面的式子看成關(guān)于x的二次函數(shù)，由于二次項前面的系數(shù)含有參數(shù)，所以它的定義域和值域，都與a有關(guān)，即要分三類情況進行分類討論．

解答： 解：存在．∵b＞0，
①當 a＞0時，定義域是包含x=-

b

a

＜0，值域是f（x）≥0，不可能相等；
②當 a=0時，定義域是x≥0，值域也是f（x）≥0，符合題意；
③當a＜0時，定義域是[0，-

b

a

]，值域是[0，

b2 -4a

]相同就有-

b

a

=

b2 -4a

，解得a=-4；
綜合以上得：a=0或a=-4時函數(shù)f（x）的定義域和值域相同．

點評：本題是考查二次函數(shù)的定義和值域問題，這里要對參數(shù)a進行分類討論，分小于零，等于零各大于零三類．