Question

19．己知l₁，l₂分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線，且右焦點關(guān)于l₁的對稱點l₂在上，則雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 設(shè)出對稱點的坐標(biāo)，根據(jù)中點坐標(biāo)公式和斜率公式即可求出a與b的關(guān)系，再根據(jù)離心率公式即可求出．

解答 解：l₁，l₂分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線，
不妨設(shè)l₁，為y=$\frac{a}$x，l₂為y=-$\frac{a}$x，
∵右焦點關(guān)于l₁的對稱點l₂在上
設(shè)右焦點關(guān)于l₁的對稱點為P（m，-$\frac{bm}{a}$），右焦點F₁坐標(biāo)為（c，0），
∴PF₁中點坐標(biāo)為（$\frac{m+c}{2}$，-$\frac{bm}{2a}$），
∴-$\frac{bm}{2a}$=$\frac{m+c}{2}$$•\frac{a}$，
∴m=-$\frac{1}{2}$c，
∴P（-$\frac{1}{2}$c，$\frac{bc}{2a}$），
∴${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{\frac{bc}{2a}}{-\frac{1}{2}c-c}$=-$\frac{3a}$，
∴-$\frac{3a}$•$\frac{a}$=-1，
∴b²=3a²，
∴c²=a²+b²=4a²，
∴c=2a，
∴e=$\frac{c}{a}$=2，
故答案為：2．

點評 本題考查雙曲線的方程離心率漸近線方程，以及點的對稱問題，屬于中檔題．