Question

8．已知橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，M為C上位于第一象限的點，|MF₁|=2，且MF₁⊥y軸，MF₂與橢圓C交于另一點N，若$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}N}$，則直線MN的斜率為（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由橢圓性質得b²=2a，M（2，c），N（-1，-2c），由此能求出c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，從而能求出直線MN的斜率．

解答 解：∵橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，
M為C上位于第一象限的點，|MF₁|=2，且MF₁⊥y軸，
∴$\frac{^{2}}{a}=2$，即b²=2a，①，且M（2，c），
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}$=1，②
∵MF₂與橢圓C交于另一點N，$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}N}$，∴N（-1，-2c），
∴$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$=1，③
聯(lián)立①②③，得c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴直線MN的斜率為k_MN=$\frac{c-（-2c）}{2-（-1）}$=c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質的合理運用．