Question

9．如圖，已知函數(shù)y=sin（$\frac{π}{2}$-πx）的部分圖象，點A（$\frac{5}{6}$，m），B（${\frac{7}{3}$，n）為函數(shù)圖象上的點，線段AB與x軸交于點C，及y軸上點P（0，n），則$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{AB}$=（　�。�

• A． $\frac{{25-11\sqrt{3}}}{8}$
• B． $\frac{{25-9\sqrt{3}}}{8}$
• C． $\frac{{35-11\sqrt{3}}}{8}$
• D． $\frac{{35-9\sqrt{3}}}{8}$

Answer 1

分析 利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)解析式，由題意可解得m，n的值，進而可求點A，B，P的坐標，利用兩點式求得AB的方程，由線段AB與x軸交于點C，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{x-\frac{5}{6}}{\frac{7}{3}-\frac{5}{6}}}\\{y=0}\end{array}\right.$，從而解得C點坐標，再求得$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{AB}$的坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算即可得解．

解答 解：∵y=sin（$\frac{π}{2}$-πx）=cosπx，
∴由題意可得：m=cos$\frac{5}{6}$π=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，n=cos${\frac{7}{3}$π=$\frac{1}{2}$，
∴可得坐標為：A（$\frac{5}{6}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（${\frac{7}{3}$，$\frac{1}{2}$），P（0，$\frac{1}{2}$），
∵線段AB與x軸交于點C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{x-\frac{5}{6}}{\frac{7}{3}-\frac{5}{6}}}\\{y=0}\end{array}\right.$，從而解得C點的坐標為：（$\frac{37-9\sqrt{3}}{12}$，0），
∴$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{37-9\sqrt{3}}{12}$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{37-9\sqrt{3}}{12}$×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$=$\frac{35-11\sqrt{3}}{8}$．
故選：C．

點評 本題主要考查了誘導(dǎo)公式，兩點式求直線的方程，平面向量數(shù)量積的坐標運算，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了計算能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．