Question

6．已知函數(shù)f₀（x）=sinx+cosx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），…，其中n∈N，則f₁₉（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f_n+4（x）=f_n（x）．n∈N，即可得出．

解答 解：∵f₀（x）=sinx+cosx，
∴f₁（x）=f₀′（x）=cosx-sinx，
f₂（x）=f₁′（x）=-sinx-cosx，
f₃（x）=-cosx+sinx，
f₄（x）=sinx+cosx，
以此類推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
∴f₁₉（x）=f_4×4+3（x）=f₃（x）=-cosx+sinx，
∴f₁₉（$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
故答案為：$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

點評 本題考查三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、周期性、及觀察歸納思想的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．熟練掌握三角函數(shù)的求導(dǎo)法則，利用其中的函數(shù)周期性則解決本題的關(guān)鍵．