Question

14．已知雙曲線x²-$\frac{y^2}{m^2}$=1（m＞0）的漸近線與圓x²+（y+2）²=1沒有公共點，則該雙曲線的焦距的取值范圍為（2，4）．

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，圓的圓心和半徑，由直線和圓沒有公共點，可得d＞r，解不等式可得m的范圍，進而得到所求范圍．

解答 解：雙曲線x²-$\frac{y^2}{m^2}$=1（m＞0）的漸近線為y=±m(xù)x，
圓x²+（y+2）²=1的圓心為（0，-2），半徑為1，
由直線和圓沒有公共點，可得
d＞r，即為$\frac{|0+2|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$＞1，
解得0＜m＜$\sqrt{3}$，
雙曲線x²-$\frac{y^2}{m^2}$=1（m＞0）的焦距為：
2c=2$\sqrt{1+{m}^{2}}$∈（2，4）．
故答案為：（2，4）．

點評 本題考查雙曲線的焦距的范圍，注意運用漸近線方程和直線和圓無公共點的條件：d＞r，考查運算能力，屬于中檔題．