Question

11．在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C₁：x²=4y和圓C₂：x²+（y-5）²=9，點P是直線y=-4上的動點．
（1）過點P作圓C₂的切線，切點為M，N，若|MN|=$\frac{3\sqrt{91}}{5}$，求點P的坐標(biāo)；
（2）過P所作圓C₂的兩條切線，分別與曲線C₁相交于點A，B和C，D，思考：四點A，B，C，D的橫坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出C₂到直線MN的距離，由射影定理可得C₂P=30，利用兩點間的距離公式求點P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點P在直線y=-4上運動時，設(shè)P（x₀，-4），切線方程為kx-y-kx₀-4=0，所以（x₀²-9）k²+18x₀k+72=0，設(shè)過P所作的兩條切線PA，PC的斜率分別為k₁，k₂，則k₁+k₂=-$\frac{18{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-9}$，k₁k₂=-$\frac{72}{{{x}_{0}}^{2}-9}$，由$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}x-y-{k}_{1}{x}_{0}-4=0}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4k₁x+4（k₁x₀+4）=0，設(shè)四點A、B、C、D的橫向聯(lián)合坐標(biāo)分別是x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁x₂=4（k₁x₀+4），x₃x₄=4（k₂x₀+4），由此能證明四點A，B，C，D的橫坐標(biāo)之積為定值．

解答 解：（1）設(shè)P（x，-4），則
∵圓C₂：x²+（y-5）²=9，|MN|=$\frac{3\sqrt{91}}{5}$，
∴C₂到直線MN的距離為$\sqrt{9-（\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{91}}{5}）^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
由射影定理可得9=$\frac{3}{10}×{C}_{2}P$，∴C₂P=30，
∴$\sqrt{{x}^{2}+81}$=30，∴x=±3$\sqrt{91}$，
∴P（±3$\sqrt{91}$，-4）；
（2）當(dāng)點P在直線y=-4上運動時，設(shè)P（x₀，-4），
由題意知x₀≠±3，過P且于圓C₂相切的直線的斜率存在，每條切線都與拋物線有兩個交點，
切線方程為y+4=k（x-x₀），即kx-y-kx₀-4=0，
∴$\frac{|-5-k{x}_{0}-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，
整理，得（x₀²-9）k²+18x₀k+72=0，①
設(shè)過P所作的兩條切線PA，PC的斜率分別為k₁，k₂，
則k₁，k₂是方程①的兩個實根，
∴k₁+k₂=-$\frac{18{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-9}$，k₁k₂=-$\frac{72}{{{x}_{0}}^{2}-9}$，②
由$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}x-y-{k}_{1}{x}_{0}-4=0}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4k₁x+4（k₁x₀+4）=0，③
設(shè)四點A、B、C、D的橫向聯(lián)合坐標(biāo)分別是x₁，x₂，x₃，x₄，
則x₁，x₂是方程③的兩個實根，
∴x₁x₂=4（k₁x₀+4），④
同理，x₃x₄=4（k₂x₀+4），⑤
由②④⑤三式得：
x₁x₂x₃x₄=16（k₁x₀+4）（k₂x₀+4）
=16[k₁k₂x₀²+4x₀（k₁+k₂）+16]
=16（$\frac{72{{x}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-9}-4{x}_{0}•\frac{18{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-9}+16$）
=16×16=256．
∴當(dāng)點P在直線y=-4上運動時，四點A、B、C、D的橫坐標(biāo)之積為定值256．

點評 本題考查曲線方程的求法，考查四點的橫坐標(biāo)之積為定值的探求，考查韋達(dá)定理，知識綜合性強(qiáng)，難度大．