Question

15．3•2^-1+4•2^-2+5•2^-3+…+（n+2）•2^-n=4-$\frac{n+4}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 通過令S_n=3•2^-1+4•2^-2+5•2^-3+…+（n+2）•2^-n，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：記S_n=3•2^-1+4•2^-2+5•2^-3+…+（n+2）•2^-n，
則$\frac{1}{2}$S_n=3•2^-2+4•2^-3+5•2^-4+…+（n+2）•2^-n-1，
兩式錯(cuò)位相減得：$\frac{1}{2}$S_n=3•2^-1+2^-2+2^-3+2^-4+…+2^-n-（n+2）•2^-n-1，
=$\frac{3}{2}$+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=2-$\frac{n+4}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=4-$\frac{n+4}{{2}^{n}}$，
故答案為：4-$\frac{n+4}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．