設(shè)a、b、x、y都是正數(shù)，且x+y=a+b．求證：
a2
a+x
+
b2
b+y
≥
a+b
2
．（用柯西不等式證明）
考點(diǎn)：不等式的證明
專題：選作題,綜合法
分析：根據(jù)柯西不等式可得（a+x+b+y）（
a2
a+x
+
b2
b+y
）≥（a+b）2，結(jié)合x+y=a+b即可得出結(jié)論．
解答： 證明：由柯西不等式可得（a+x+b+y）（
a2
a+x
+
b2
b+y
）≥（a+b）2，
由于x+y=a+b，所以a+x+b+y=2（a+b）
所以2（a+b）（
a2
a+x
+
b2
b+y
）≥（a+b）2，
所以
a2
a+x
+
b2
b+y
≥
a+b
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二元形式的柯西不等式的內(nèi)容與形式，掌握根據(jù)柯西不等式的內(nèi)容即：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD與BDEf均為菱形，已知∠DAB=∠DBF=60°，且面ABCD⊥面BDEF，AC=2
3
．
（1）求證：OF⊥平面ABCD；
（2）求二面角F-BC-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2
2
，∠ABC=90°（如圖1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A-BD-C的平面角為θ（如圖2）
（1）若θ=
π
2
，求證：CD⊥AB；
（2）是否存在適當(dāng)θ的值，使得AC⊥BD，若存在，求出θ的值，若不存在說明理由；
（3）取BD中點(diǎn)M，BC中點(diǎn)N，P、Q分別為線段AB與DN上一點(diǎn)，使得
AP
PB
=
NQ
QD
=λ(λ∈R)．令PQ與BD和AN所成的角分別為θ1和θ2．求證：對(duì)任意θ∈（0．π），總存在實(shí)數(shù)λ，使得sinθ1+sinθ2均存在一個(gè)不變的最大值．并求出此最大值和取得最大值時(shí)θ與λ的關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+
π
6
）（x∈R，A＞0，ω＞0）的最小正周期為T=6π，且f（2π）=2
（1）求ω和A的值；
（2）設(shè)α，β∈[0，
π
2
]，f（3α+π）=
16
5
，f（3β+
5π
2
）=-
20
13
，求cos（α-β）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2-14x+45=0的兩根，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=
1-bn
2
（n∈N﹡）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記cn=an•bn，比較cn+1與cn的大��；
（Ⅲ）記cn=an•bn求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若直線ax-by+1=0平分圓C：x2+y2+2x-4y+1=0的周長(zhǎng)，則ab的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果（2x-1）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，那么a1+a2+…+a6的值等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在正實(shí)數(shù)k，使對(duì)任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱函數(shù)f（x）為D上的“k型增函數(shù)”．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）為R上的“2012型增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x=log52，y=e-
1
2
，z=
1
2
（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（　�。�
A、x＜y＜z
B、y＜x＜z
C、z＜x＜y
D、x＜z＜y

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同步練習(xí)冊(cè)答案