Question

6．已知函數(shù)f（x）=ln（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}ax$）+x²-ax（a為常數(shù)，且a＞0）．
（Ⅰ）若x=$\frac{1}{2}$是函數(shù)f（x）的一個極值點，求a的值；
（Ⅱ）當0＜a≤2時，判斷f（x）在[$\frac{1}{2}，+∞）$上的單調(diào)性，并加以證明；
（Ⅲ）若對任意的a∈（1+$\frac{1}{n+1}$，2）（n∈N⁺，且n為常數(shù)），總存在x₀∈[$\frac{1}{2}，1$]，使不等式f（x₀）＞m（1-a²）成立（m為正實數(shù)），試比較m與$\frac{n+1}{4n+6}$的大小，并加以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過f′（$\frac{1}{2}$）=0，解出a的值即可；
（Ⅱ）當x≥$\frac{1}{2}$時，x-$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$≥0，又$\frac{2ax}{1+ax}$＞0，得到f′（x）≥0，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）將問題轉(zhuǎn)化為對任意的a∈（1，2），不等式ln（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$a）+1-a+m（a²-1）＞0恒成立，通過討論函數(shù)g（a）=ln（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$a）+1-a+m（a²-1）的單調(diào)性，從而求出m的范圍，即可得到m與$\frac{n+1}{4n+6}$的大�。�

解答 解：f′（x）=$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}ax}$+2x-a=$\frac{2ax（x-\frac{{a}^{2}-2}{2a}）}{1+ax}$，
（Ⅰ）由已知，得 f′（$\frac{1}{2}$）=0且$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$≠0，∴a²-a-2=0，
∵a＞0，∴a=2；
（Ⅱ）當0＜a≤2時，f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)．
∵$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{（a-2）（a+1）}{2a}$≤0，∴$\frac{1}{2}$≥$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$，
∴當x≥$\frac{1}{2}$時，x-$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$≥0，又$\frac{2ax}{1+ax}$＞0，∴f′（x）≥0，
故f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅲ）m＞$\frac{n+1}{4n+6}$．
理由：對任意的a∈（1+$\frac{1}{n+1}$，2），
由（Ⅱ）知，f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=ln（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$a）+1-a，
于是問題等價于：對任意的a∈（1+$\frac{1}{n+1}$，2），不等式ln（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$a）+1-a+m（a²-1）＞0恒成立，
記g（a）=ln（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$a）+1-a+m（a²-1），（1＜a＜2）
則g′（a）=$\frac{1}{1+a}$-1+2ma=$\frac{a}{1+a}$[2ma-（1-2m）]，
當m≤0時，2ma-1+2m＜0，∴g’（a）＜0，
∴g（a）在區(qū)間（1，2）上遞減，
此時，g（a）＜g（1）=0，∴m≤0時不可能使g（a）＞0恒成立，故必有m＞0，
∴g′（a）=$\frac{2ma}{1+a}$[a-（$\frac{1}{2m}$-1）]．
若$\frac{1}{2m}$-1＞1，可知g（a）在區(qū)間（1，min{2，$\frac{1}{2m}$-1}）上遞減，
在此區(qū)間上，有g(shù)（a）＜g（1）=0，與g（a）＞0恒成立矛盾，
故$\frac{1}{2m}$-1≤1，這時，g′（a）＞0，g（a）在（1，2）上遞增，
恒有g(shù)（a）＞g（1）=0，滿足題設(shè)要求，
即有$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{\frac{1}{2m}-1≤1}\end{array}\right.$，解得m≥$\frac{1}{4}$，
又$\frac{n+1}{4n+6}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{-2}{4（4n+6）}$＜0，
即有$\frac{n+1}{4n+6}$＜$\frac{1}{4}$，
則有m＞$\frac{n+1}{4n+6}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．